Simulacro 150

 

Simulacro 1 examen

Pregunta 1

Teorema 1. Sea n ∈ N un primo mayor que 3. Exactamente una de las siguientes es verdadera: 

    1. existe un k ∈ N tal que n = 6k + 1, o 

    2. existe un k ∈ N tal que n = 6k − 1. 

Note en particular que este teorema dice que pasa alguna de las dos, pero que no pueden pasar las dos cosas a la vez. 

a. Dadas dos proposiciones F y G, escriba que al menos una de las dos es verdadera. 

b. Dada dos proposiciones F y G, escriba (con los s´ımbolos b´asicos), que F y G no pueden ser ambas ciertas. 

c. Escriba en lenguaje matem´atico el teorema anterior. d. Demuestre el teorema.

Pregunta 2

Sea P(x) una propiedad de n´umeros naturales (Por ejemplo, P(x) podr´ıa ser “x es par”). Decimos que hay infinitos x ∈ N que satisfacen P(x) si para cualquier n existe un x mayor que n que la satisface. 

a. Escriba “hay infinitos x ∈ N tal que P(x)” en lenguaje matem´atico. 

b. Muestre que hay infinitos n´umeros naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos al mismo tiempo.

Pregunta 3

Para cada uno de los siguientes, diga si es falsa o verdadera. En cada caso, demuestre o d´e un contraejemplo: 

a. (P ∧ ¬Q) es equivalente a (P → Q). 

b. log2 (3) ∈ Q. 

c. Si A, B ⊆ U, entonces (A\B) c = Ac ∪ B. 

d. Existe A tal que A ∩ P(A) 6= ∅.

Pregunta 4

a. Muestre que si (x, y),(z, w) ∈ A × B, entonces (x, w) ∈ A × B

b. Muestre que en general no es cierto que P(U × U) = {A × B | A, B ⊆ U}. 

Sugerencia: Este ejercicio no es tan difícil como parece. Puede resolverlo con conjuntos muy peque˜nos (finitos). Intente calcular P(U × U) y usen la parte a 

Pregunta 5

Muestre que (A∆B)\(A∆C) = ((A ∩ C)\B) ∪ (B\(A ∪ C)).

Pregunta 6

 De un ejemplo de una familia {Ai}i∈N tal que para todo i, j ∈ N, Ai ∩ Aj 6= ∅ pero tal que T i∈N Ai = ∅.